试议微积分微积分知识在生活中运用

论文导读：
摘 要：围绕中值定理、函数的连续性、微分概念、重要极限、夹逼准则、弹性、拐点、极值等有关知识，探讨微积分知识在实际生活中的广泛应用，进一步揭示微积分与实际生活的密切联系，为应用微积分知识解决实际问题，建立数学模型，奠定了一定的理论基础。
关键词：微积分；生活；应用
1673-291X（2013）30-0235-02

一、中值定理在生活中的应用

[问题] 如果你驾车在一条限速为100公里/小时的公路上行驶，监控仪证明你在半个小时内跑了60公里，那么会给你开一张超速罚单吗？
[预备知识] 拉格朗日中值定理：在闭区间[a，b]上连续；在开区间（a，b）内可导。 结论：在（a，b）内至少存在一点ξ（a<ξ[应用] 拉格朗日中值公式反映了可导函数在[a，b]上整体平均变化率与在（a，b）内某点ξ处函数的局部变化率的关系。若从力学角度看，公式表示整体上的平均速度等于某一内点处的瞬时速度。 因此，拉格朗日中值定理是联结局部与整体的纽带。
因为平均速度v===120（公里/小时），而根据中值定理平均速度等于某一内点处的瞬时速度，所以你在半个小时内的某一时刻一定是达到了120公里/小时> 100公里/小时，也就是超速了。

二、函数连续性在生活中的应用

[问题] 人的相貌在一分钟内看不出有什么区别，但从孩童到老年相貌却差异很大，怎么解释这一现象呢？
[预备知识] 设函数f（x）在Uδ（x0）内有定义，如果当自变量的增量Δx趋向于零时，对应于函数的增量Δy也趋向于零，即Δy=0。
[应用] 人的生长是连续的，在一分钟内也就是自变量的改变很小时，人的相貌也就是函数的改变量也会很小。
客观世界的许多现象和事物不仅是运动变化的，而且其运动变化的过程往往是连绵不断的，比如日月行空、岁月流逝、植物生长、物种变化等，这些连绵不断发展变化的事物在量的方面的反映就是函数的连续性。

三、微分概念在生活中的应用

[问题] 地球形状明明是圆的，为什么古时候的人们以为地球是方的？
[预备知识] 如果函数z=f（x，y）在点（x，y）的全增量Δz=
f（x+Δx，y+Δy）-f（x，y）可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o（ρ），其中A，B不依赖于Δx，Δy而仅与x，y有关，则称函数z=f（x，y）在点（x，y）可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f（x，y）在点（x，y）的全微分，记为dz，dz=AΔx+BΔy。
[应用]根据全微分定义，有Δz≈dz即Δz≈fx（x，y）Δx+
fy（x，y）Δy，即全微分的几何意义是：微分是实现增量线性化的一种数学模型，即微分函数的实质：局部像个平面。当可微函数的自变量改变很小时，函数增量可以近似看作一个二维线性函数——平面。所以古时候在人的肉眼范围内（自变量改变很小原创论文www.7ctime.com
），人们认为函数的增量——地球表面是平的。

四、重要极限在生活中的应用

[问题] 要洗一件衣服，先用水和洗涤剂把衣服洗涤，拧一下，然后再把衣服漂清。由于不能拧得干干净净，衣服上仍带有含污物的的水。设衣服上残存的污物量为 m0（包括洗涤剂），残存水量为w，我们还有一桶清水，水量为A。问怎样合理地使用这一桶清水，尽可能地把衣服洗干净？还有衣服能彻底洗干净吗？
[预备知识] 重要极限：1+x=e
[应用] 假设把一桶水分成n次使用，每次用量分别为a1，a2，…an，用mi（i=0，1，2，…n）表示第i次洗涤后衣服上残留的污物量。那么=，则n次洗涤后衣服上残存的污物量为mn=，由于mn≤{[（1+）+（1+）+…+（1+）]}n=（1+）n，因此把水量等分，可以使污物的残余量最少，而且分的次数越多，洗的越干净。但残留物不会完全没有，因为利用重要极限（1+）n=e，即n趋于无穷大时，污物量趋于e。

五、极限夹逼准则在生活中的应用

[问题] 同学们在上完最后一节课后，肚子饿得直响，迫不及待地冲出教室飞奔食堂，以为可以抢先打到饭，没想到已排上了长队，自己也就只好排在后面，但后来的同学越来越多，为什么不用思考还有多远轮到自己打饭，就被前后的同学“挟持”到了师傅跟前。
[预备知识]
（夹逼准则）：如果数列xn，yn及zn满足下列条件：（1）yn≤xn≤zn（n=1，2，3…）；（2）yn=a，zn=a那末数列xn的极限存在， 且xn=a。
[应用] 先在黑板上画两条与轴线垂直的直线，代表两个垂直于黑板平面的平面，从左到右分别记yn，zn，假设有一点a固定，yn，zn都向a无限接近，那么在yn，zn之间任意位置放入一平面xn，它都会被迫向a趋近，这就是形象的夹逼定理。其中xn就是某同学自己，排在其前后的同学就是yn和zn，打饭的师傅就是确定的a。

六、弹性在生活中的应用

[问题] 商场定期推出打折让利活动，那么最终获利的是谁呢？高档奢侈品越来越高，商家是怎么想的呢？
[预备知识]设函数y=f（x）可导，函数的相对改变量=与自变量的相对改变量之比，称为函数f（x）在x与x+Δx两点间的弹性（或相对变化率）。而极限称为函数f（x）在点x处的弹性（或相对变化率），记为f（x）。
[应用] 函数f（x）在点x的弹性反映随x的变化f（x）变化幅度的大小，即f（x）对x变化反应的强烈程度或灵敏度。商场里的大众商品富于弹性，降价能极大地促进销售量，进而总利润增加；而奢侈品缺乏弹性，提高价钱对销售量影响不大，故商家不肯轻易降价。

七、拐点在生活中的应用

[问题] 人们投资股票市场的目标无疑是低买高卖，但是，这种对股票时机的把握是难以捉摸的，因为我们不可能准确预测股市的趋势。当投资者刚意识到股市确实在上涨（或下跌）时，局部最低点（或局部最高点）早已过去了。那么怎么把握这种趋势呢？
[预备知识] 连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点。
[应用] 拐点为投资者提供了在逆转趋势发生之前预测它的方法，因为拐点标志着函数增长率的根本改变。以拐点或其附近处的购进股票能使投资者呆在较长期的上扬趋势中，降低了因股市的浮动给投资者带来的风险。
参考文献：
吴赣昌.概率论与数理统计[M].北京：中国人民大学出版社，2011.
王洪英，车军领.微积分学中极限教学法探讨[J].山东师范大学学报：自然科学版，2008，（3）.