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最后更新时间：2024-04-22
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论文导读：
笔者在中考复习备考教学中，为学生讲解直角三角形应用这一内容时，选取了下面的一道中考试题：
如图1，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固.经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固.并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：■.
（1）求加固后坝底增加的宽度AF；
（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）
坡度、坡比类题目在本市今年中考中不是重点考点，所以在复习完锐角三角函数及解直角三角形等基础知识之后，本节课笔者准备把仰俯角、方位角等问题作为复习重点。选择本题，主要是本题为学生常见题目且难度不大，同时为了顺便简要复习坡度、坡比等概念，以及为后面复习仰俯角、方位角等重点内容作铺垫，并未把此题作为重点题目来研究。
教师：哪位同学自愿上台板演此题？
学生积极举手，笔者请学生1演板，其解答过程如下：
如图2，分别过点E，D作EG⊥AB，DH⊥AB，垂足为G，H，∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，∴DH∥EG，DH=EG，故四边形EGHD是矩形，∴ED=GH，在Rt△ADH中，AH=DH tan∠ADH=10tan45°=10，在Rt△FGE中，i=1∶■=EG∶FG，∴FG=■EG=10■，∴AF=FG+GH-AH=10■+3-10=10■-7
（2）V=S梯形AFED×l=■（3+10■-7）×10×500=25000■-10000
这种解法是解此类题目最常用的方法，以前遇到这类题目，我向学生讲解的就是这种方法，即作梯形两条高，构造矩形和有相等直角边的两个直角三角形来求解。但这种解法有部分学生对于FH、FA、AG、AH、FG这些线段间的关系难以理顺，从而阻碍了解题的正常进行，因此每次讲评的重点是这些线段间的关系。因为以前已经重点讲过，所以简单点评后，随意问道：大家都明白了此题的解题方法吗？学生齐声回答：明白了！但学生2却说：明白了是明白了，不过图形太复杂了，第（1）小题的解法不简便。
此题并未成为重点题目，我并未打算在此题上花费太多时间，但看到学生2的兴奋而急切的神情，为了不挫伤他的学习积极性，我请学生2说说他第（1）小题的解法.
学生2：如图3，过D作DH⊥AB于H，过D作DN∥EF交AF于N，则四边形DEFN是平行四边形， 在Rt△ADH中，可算出AH=10，在Rt△NDH中，i=tan∠EFA=tan∠DNH=DH∶NH=1∶■，可算出NH=10■，故AN=NH-AH=10■-10，则AF=AN+FN=10■-7
这种解法与第一种解法比较，图形更简洁，线段间关系更直接，而且图形中Rt△DNH与Rt△DAH有公共的直角边DH，这就构成了解直角三角形中最基本的图形之一，整个解法显现出通性通法，体现了转化的数学思想.若把题目改为：ED=3，AF=10■-7，其它条件不变，求梯形的高，那么这种方法的优越性就能体现得淋漓尽致.
老师：真了不起！你的小脑袋瓜是如何想到这种解法的？比老师讲的方法要简洁多了.
学生2（兴奋）：我是受解决梯形问题常用的辅助线作法的启发，平移梯形的一腰，找到了这种解法的.
在学生2的启发下，学生都翻到了第29课时《梯形》一页，在下面议论起来.在学生议论之时，笔者面临一个选择：是继续对此题解法进行探究，还是终止探究而进行预设的内容？听到学生激烈的争论，看着学生兴奋的神情，笔者决定对此题探究到底。
教师：还有不同的解法吗？
学生3：如图4，过D作DH⊥AB于H，
延长FE交HD的延长线于P，
在Rt△ADH中，AH=10，
∵DE∥AB，∴∠PED=∠EFA，
则i=tan∠EFA=tan∠PED
=PD∶DE=1∶■，则可得PD=■，故而PH=PD+DH=10+■，在Rt△PFH中，tan∠EFA=PH∶FH=1∶■，∴FH=■PH=10■+3，故AF=FH-AH=10■-7
学生4：如图5，过点D作DH⊥AB于H，
过F作FM⊥CD交CD的
延长线于M，可得四边形
MFHD是平行四边形，
∵DH⊥FH，四边形MFHD是矩形，
在论文导读：
Rt△ADH中，AH=DHtan∠ADH=10tan45°=10，
△MFE中，tan∠MEF=tan∠EFA=MF∶EM=1∶■，可得EM=10■，而ME+DE=AF+AH，从而可算出AF=10■-7
解直角三角形应用因难度不大，笔者在历年的中考备考中都没有给予足够的重视，而学生在这节课中却精彩纷呈，这些解法不仅展现了解直角三角形应用的一般解法，而且展示了常用的梯形研究方法，更暴露出学生的解题思维过程，虽然后面还有仰俯角、方位角等解直角三角形应用的基本例题，但是笔者临时决定对该例题进行解题反思和变式训练.
教师：这些解法有什么共同特征吗？通过此题你会有哪些收获？请同学们思考、讨论、交流.
学生5：这些方法都是过梯形某顶点向底边作垂线，构造直角三角形来完成解题.通过本题，我不仅明白了解直角三角形应用的一般方法，也领悟到梯形辅助线作法的奥妙！
教师：很好，对解法的概括很到位，还有同学愿意发表自己的观点吗？
学生6：大堤加固问题实质是梯形类问题，解决问题的策略是把梯形转化为平行四边形与三角形问题.方法二将方法一中的△EFG沿FB平移，使EG与DH重合，而方法四可看作将方法一中线段FG沿EG平移到ME位置.这三种方法关键点是利用图形中直角三角形相等的直角边这源于：免费论文查重站www.7ctime.com
个条件作为桥梁进行计算.方法三与其它方法区别是构造出以FH为直角边的直角三角形，方法三解三次直角三角形，而其它方法只解了两次直角三角形，方法三相当于是延长梯形的两腰，计算较复杂. 源于：论文格式范例www.7ctime.com
笔者在中考复习备考教学中，为学生讲解直角三角形应用这一内容时，选取了下面的一道中考试题：
如图1，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固.经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固.并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：■.
（1）求加固后坝底增加的宽度AF；
（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）
坡度、坡比类题目在本市今年中考中不是重点考点，所以在复习完锐角三角函数及解直角三角形等基础知识之后，本节课笔者准备把仰俯角、方位角等问题作为复习重点。选择本题，主要是本题为学生常见题目且难度不大，同时为了顺便简要复习坡度、坡比等概念，以及为后面复习仰俯角、方位角等重点内容作铺垫，并未把此题作为重点题目来研究。
一、情景再现
上课时，笔者对此题作了简单的分析。教师：哪位同学自愿上台板演此题？
学生积极举手，笔者请学生1演板，其解答过程如下：
如图2，分别过点E，D作EG⊥AB，DH⊥AB，垂足为G，H，∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，∴DH∥EG，DH=EG，故四边形EGHD是矩形，∴ED=GH，在Rt△ADH中，AH=DH tan∠ADH=10tan45°=10，在Rt△FGE中，i=1∶■=EG∶FG，∴FG=■EG=10■，∴AF=FG+GH-AH=10■+3-10=10■-7
（2）V=S梯形AFED×l=■（3+10■-7）×10×500=25000■-10000
这种解法是解此类题目最常用的方法，以前遇到这类题目，我向学生讲解的就是这种方法，即作梯形两条高，构造矩形和有相等直角边的两个直角三角形来求解。但这种解法有部分学生对于FH、FA、AG、AH、FG这些线段间的关系难以理顺，从而阻碍了解题的正常进行，因此每次讲评的重点是这些线段间的关系。因为以前已经重点讲过，所以简单点评后，随意问道：大家都明白了此题的解题方法吗？学生齐声回答：明白了！但学生2却说：明白了是明白了，不过图形太复杂了，第（1）小题的解法不简便。
此题并未成为重点题目，我并未打算在此题上花费太多时间，但看到学生2的兴奋而急切的神情，为了不挫伤他的学习积极性，我请学生2说说他第（1）小题的解法.
学生2：如图3，过D作DH⊥AB于H，过D作DN∥EF交AF于N，则四边形DEFN是平行四边形， 在Rt△ADH中，可算出AH=10，在Rt△NDH中，i=tan∠EFA=tan∠DNH=DH∶NH=1∶■，可算出NH=10■，故AN=NH-AH=10■-10，则AF=AN+FN=10■-7
这种解法与第一种解法比较，图形更简洁，线段间关系更直接，而且图形中Rt△DNH与Rt△DAH有公共的直角边DH，这就构成了解直角三角形中最基本的图形之一，整个解法显现出通性通法，体现了转化的数学思想.若把题目改为：ED=3，AF=10■-7，其它条件不变，求梯形的高，那么这种方法的优越性就能体现得淋漓尽致.
老师：真了不起！你的小脑袋瓜是如何想到这种解法的？比老师讲的方法要简洁多了.
学生2（兴奋）：我是受解决梯形问题常用的辅助线作法的启发，平移梯形的一腰，找到了这种解法的.
在学生2的启发下，学生都翻到了第29课时《梯形》一页，在下面议论起来.在学生议论之时，笔者面临一个选择：是继续对此题解法进行探究，还是终止探究而进行预设的内容？听到学生激烈的争论，看着学生兴奋的神情，笔者决定对此题探究到底。
教师：还有不同的解法吗？
学生3：如图4，过D作DH⊥AB于H，
延长FE交HD的延长线于P，
在Rt△ADH中，AH=10，
∵DE∥AB，∴∠PED=∠EFA，
则i=tan∠EFA=tan∠PED
=PD∶DE=1∶■，则可得PD=■，故而PH=PD+DH=10+■，在Rt△PFH中，tan∠EFA=PH∶FH=1∶■，∴FH=■PH=10■+3，故AF=FH-AH=10■-7
学生4：如图5，过点D作DH⊥AB于H，
过F作FM⊥CD交CD的
延长线于M，可得四边形
MFHD是平行四边形，
∵DH⊥FH，四边形MFHD是矩形，
在论文导读：
Rt△ADH中，AH=DHtan∠ADH=10tan45°=10，
△MFE中，tan∠MEF=tan∠EFA=MF∶EM=1∶■，可得EM=10■，而ME+DE=AF+AH，从而可算出AF=10■-7
解直角三角形应用因难度不大，笔者在历年的中考备考中都没有给予足够的重视，而学生在这节课中却精彩纷呈，这些解法不仅展现了解直角三角形应用的一般解法，而且展示了常用的梯形研究方法，更暴露出学生的解题思维过程，虽然后面还有仰俯角、方位角等解直角三角形应用的基本例题，但是笔者临时决定对该例题进行解题反思和变式训练.
教师：这些解法有什么共同特征吗？通过此题你会有哪些收获？请同学们思考、讨论、交流.
学生5：这些方法都是过梯形某顶点向底边作垂线，构造直角三角形来完成解题.通过本题，我不仅明白了解直角三角形应用的一般方法，也领悟到梯形辅助线作法的奥妙！
教师：很好，对解法的概括很到位，还有同学愿意发表自己的观点吗？
学生6：大堤加固问题实质是梯形类问题，解决问题的策略是把梯形转化为平行四边形与三角形问题.方法二将方法一中的△EFG沿FB平移，使EG与DH重合，而方法四可看作将方法一中线段FG沿EG平移到ME位置.这三种方法关键点是利用图形中直角三角形相等的直角边这源于：免费论文查重站www.7ctime.com
个条件作为桥梁进行计算.方法三与其它方法区别是构造出以FH为直角边的直角三角形，方法三解三次直角三角形，而其它方法只解了两次直角三角形，方法三相当于是延长梯形的两腰，计算较复杂. 源于：论文格式范例www.7ctime.com