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简析代数关于RSA算法中代数结构进一步研究学生

最后更新时间:2024-01-23 作者:用户投稿原创标记本站原创 点赞:17180 浏览:72279
论文导读:
摘要:
针对RSA算法中Z*φ(n)的代数结构问题,提出了一种在强素数条件下应用二次剩余理论进行研究的方法。给出了Z*φ(n)中元素阶的计算公式和元素的最大阶表达式,计算了Z*φ(n)中二次剩余的个数和二次非剩余的个数,同时估计出Z*φ(n)中元素的最大阶上限为φ(φ(n))/4并得到了Z*φ(n)中元素的最大阶达到φ(φ(n))/4的一个充要条件。另外还给出了全部二源于:论文参考文献标准格式www.7ctime.com
次剩余构成的子群A1成为循环子群的充分条件及Z*φ(n)的一种分解方法。最后证明了Z*φ(n)可由7个二次非剩余元素生成,商群Z*φ(n)/A1是一个Klein八元群。
关键词:
RSA算法;代数结构;二次剩余;强素数;循环群;欧拉函数
0引言
1978 年, 三位数学家R L Rivest, A Shamir和L Adleman提出了一种基于大整数分解困难问题的算法,称为RSA算法,众所周知,RSA算法是目前最能被人们接受也是最被广泛使用的算法之一。对RSA算法及其安全性研究一直是数学界、学界关注的热点问题。RSA算法的安全性基于大整数分解问题的困难性,针对“大整数分解问题”,最好的攻击算法是数域筛法,除此之外,还有许多RSA算法及其安全性的研究成果[3-5]。另一方面,文献[6-7]从代数结构的角度对RSA算法中Z*n及Z*φ(n)的代数结构进行了研究并取得了一些成果。本文在强素数条件下,对RSA算法中Z*φ(n)的代数结构作了进一步研究,得到了一些新的结果,这对于从代数结构的角度分析RSA的安全性有着重要的意义。
本文记号的规定:Zφ(n)表示模φ(n)下的剩余类,Z*φ(n)表示模φ(n)下且与φ(n)互素的剩余类,φ(·)表示欧拉函数,gcd(x,y)表示x,y的最大公约数,lcm(u,v)表示u,v的最小公倍数,表示由元素a生成的循环群,∣b∣表示元素b的阶,∣A∣表示集合A中元素的个数,xA表示元素x与集合A中每个元素左乘所得的集合。当m为素数时,符号am表示a对m的勒让德符号。