有关于模型基于ARIMA模型与GARCH模型对美国零售与食品服务数据

论文导读：胀。数据来源于美联储网站，http：//research.stlouied.org/fred2/（二）数据加工通过绘制美国零售与食品销售数据的图像，发现指数存在平稳的的递增趋势，因此首先对数据进行了对数处理，并进行DF检验。若DF检验值在置信区间内，则必须接受存在单位根的零假设，也就是说必须对方程进行一次差分。零售与食品销售数据，取
摘要：美国经济是世界经济增长引擎中最重要的一极，而消费在美国经济中占据了最大的比重，甚至可以说，美国的需求直接影响到其他国家乃至全球经济的发展。在反应美国消费的诸多数据中，零售与食品销售数据一直受到广泛关注，是反应美国经济信心的重要指标。本文希望通过时间序列的分析，反映过去的美国零售数据的增长路径，并对未来进行预测。
关键词：美国 零售与食品 GRACH

一、模型建立

由于作者能力有限，本文只尽可能好地拟合并预测出零售和食品销售数据的走势，并不从模型上更深入的探讨外汇变动的理论因果，故单变量时间序列模型可以很好的解决问题。
线性差分方程为主要的解决方法，Box-jenkins（1976）提供了经典的回归思路：
（3.1）
该模型假定时间序列平稳，若不平稳，则将序列差分，变为ARIMA形式进行回归，差分后形式与（

3.1）一致。即：

（3.2）
从模型形式可知，当期变量由自身过去解释，权重为其系数，绝大部分实证数据表明，近期权重较大，滞后期数越长解释力越弱。变量自身不能解释的所有因素，归结为。同样，亦能自我解释，且通常滞后阶数越少，解释力越强。如果该模型已经包含了影响当期变量的所有因素，则根据随机游走假说，由（3.1）（3.2）模型回归后的残差为白噪声。因此，检验是否为白噪声是检验模型拟合优劣的主要手段。
当显著地不为白噪声（通常表现为项出现异方差），即仅以自回归的方式不能很好的解释其他因素时，引入ARCH族模型则可以很好的解决问题。
Engle（1982）在研究英国通货膨胀时首先使用了ARCH模型，该模型认为，若为回归后的残差项，则应满足下式所示的形式：
（3.3）
其中为白噪声过程，满足，与相互独立，该模型能很好的解释变量在某时点出现较大的变动，解决了回归模型出现异方差的问题。随后Bollerslev（1986）在对美国的通货膨胀研究中扩展了该模型，变形为广义自回归条件异方差（GARCH）模型，模型假设误差过程为：
（3.4）
（3.5）
其中为白噪声过程，满足，与相互独立，的条件和无条件均值都等于零。（3.5）（3.6）所示的GARCH模型能很好的捕捉时间序列变化的持续性性质。对于频度较高，波动较频繁的数据能很好的拟合，如股票，汇率等。

二、数据描述

(一)样本信息

本文采用的数据包含自1991年1月至2010年11月所有的月度零售数据，在此期间美国没有出现比较严重的通货膨胀。数据来源于美联储网站，http：//research.stlouied.org/fred2/

(二)数据加工

通过绘制美国零售与食品销售数据的图像，发现指数存在平稳的的递增趋势，因此首先对数据进行了对数处理，并进行DF检验。若DF检验值在置信区间内，则必须接受存在单位根的零假设，也就是说必须对方程进行一次差分。
零售与食品销售数据，取对数后的数据以及差分后的数据如下图所示：
图

1.美国零售与食品销售数据对数的一阶差分

在对月数据的对数进行了DF测试后，其值为-3.26979，不能拒绝单位根的零假设。而进行了一阶差分后，DF表明已不存在单位根。

三、AR（I）MA模型

(一)模型的识别

对于AR（I）MA的识别，主要借助于自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）
图

2. 零售与食品销售数据一阶差分的ACF与PACF

(二)AP（I）MA模型的回归

从图2中看出，ACF函数前四阶比较显著异于0，另外表现出比较明显的季节性。故主要尝试AR（4），MA过程则尝试MA（1），MA（2），MA（1，12），MA（2，12）。我们将借助于BOX-JENKINS检验方法对模型进行筛选，选取出最优的模型。
对结果做如下分析：
1、ARIMA（4，1，1）与ARIMA（4，1，2）相比，引入MA（2）阶并没有使得残差平方和有效减少，且β1项系数并不显著异于0。ARIMA（4，1，1）与ARIMA（4，1，2）的Q值均表明模型的残差没有自相关性，AIC与SBC指标相近。因此ARIMA（4，1，1）要优于ARIMA（4，1，2）。
2、ARIMA（4，1，1.12）与ARIMA（4，1，

2.12）相比，在引入MA（2）项后，残差并没有明显的降低，不论文导读：

能假定对数据的解释能力更强。虽然ARIMA（4，1，2.12）比ARIMA（4，1，1.12）的Q值要大，但ARIMA（4，1，2.12）的β2的显著性水平为0.6144，故不能拒绝为0的假设，且AIC和SBC的检验来看，后者稍微更佳，因此选择ARIMA（4，1，1.12）
3、最后比较ARIMA（4，1）与ARIMA（4，1，1.12），前者的Q值更佳，而后者的项数更为显著，且AIC与SBC更小，另外SSR项后者也更小，相比较下，最终选择ARIMA（4，1，1.12）。
图3. ARIMA（4，1，

1.12）模型残差

从图5.2亦看出，ARIMA（4，1，1.12）模型的残差基本围绕0随机波动，较好的拟合了数据，为四个模型中比较好的一个。

(三)GARCH模型

1、模型的识别

由于GARCH模型的实质即AR（I）MA模型拟合后残差呈现自相关特征，因而GARCH模型阶数可以用残差平方项的自回归确定，也可同样借助于自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）。
用ARIMA（4，1，1.12）拟合后的残差自回归，滞后4阶，从系数显著性来看，滞后残差有较显著的解释能力，可能存在GARCH过程。再计算残差的ACF和PACF值进一步判断。源于：职称论文www.7ctime.com
图5. ARIMA（4，1，

1.12）拟合后残差的ACF与PACF

2、GARCH模型的回归

PACF与ACF均在1到2阶快速变小，因此考虑GARCH（0，1），GARCH（0，2），GARCH（1，1），GARCH（1，2），GARCH（2，1），GARCH（2，2）几种组合。发现：
（1）GARCH（0，2）与GARCH（1，1）得到的统计量皆显著，且 AIC和SBC项值相同，但GARCH（0，2）
（2）选取GARCH（0，2）作为最终模型

3、GARCH模型的检验

分别用GARCH（0，2）和GARCH（1，1）模型拟合后，得到新的残差平方序列。同样用该序列自回归，滞后4阶。显著性水平显著不为0，表明用GARCH（0，2）拟合后的残差相关性明显的下降，残差所含的信息量更少，绝大部分信息被GARCH（0，2）模型解释。与ARIMA（4，1，

1.12）模型相比，GARCH（0，2）能更好的拟合出数据。

用GARCH（0，2）检验模型的预测能力，同样保留2009年1月至2010年10月的数据，对该部分预测，观察其拟合情况。采用单步预测的方法，结果如下：
图6 GARCH模型预测与真实数据
四、结论
在对1991.1至2010.11的美国零售与食品销售预测后发现，ARIMA（4，1，1.12）模型确实能够粗略的对该时间段的数据进行拟合，而GARCH模型表现得更好些。在此时间段之后的中短期内，GARCH（0，2）模型对美国零售与食品销售的波动预测有一定参考意义。在图6的预测图中，模型比真实数据更早的出现了下降，这也证实了模型在一段时间内的预测能力。