探讨宣纸宣纸上墨水扩散模拟

论文导读：分方程来描述碳粒子和水粒子扩散过程中的浓度变化规律。后来他们改进了线性微分方程，以提高墨水扩散的真实感。通过求解偏微分方程得到的边缘一般比较光滑，因此这类方法模拟的扩散边缘形状光顺不够自然。2003年，Way等通过将纸张划分为多层结构，将墨水视为水粒子和碳粒子的集合，将扩散现象视为纸张的吸水性导致水流运动而碰撞
摘要：
墨水扩散是一个复杂的物理现象，针对墨水在宣纸上的扩散模拟问题，提出了一个基于变系数扩散方程的模拟方法，其扩散系数由宣纸结构和随时间而减少的剩余墨水量决定。模拟分为两个阶段：宣纸结构的模拟和墨水扩散动态过程的模拟。为了模拟宣纸结构，使用一种由权重不同且方向随机的直线段均匀分布而成的加权纤维结构。墨水扩散的动态过程由变系数扩散方程来阐述，为了高效地生成扩散图像，使用CrankNicolson数值方法求解墨水扩散方程，并且预计算纤维结构和动态更新扩散图像。与以往类似的模拟方法相比，该方法能够生成更加自然的扩散边界，并有效地解决了边界过于平滑的问题。实验结果表明该方法能够真实地模拟不同宣纸上的墨水扩散效果。
关键词：
宣纸结构；墨水扩散；扩散模拟；加权纤维结构；变系数扩散方程
0引言
中国古代文房四宝中的墨和纸是中国传统书法艺术的主要材料和载体，其中宣纸因具有色泽耐久、吸水能力强、纹理清晰、润墨性好等特点被公认为书画创作的上等纸张，许多传世书画艺术珍品都是在宣纸上创作的。独具魅力的宣纸书法艺术引起许多计算机图形领域的研究人员和学者的兴趣，他们致力于研究书法艺术的计算机模拟和生成方法，其中墨水扩散模拟是重要的基础工作，涉及宣纸结构和墨水扩散特性两方面的内容。
纸张是由纸浆和纤维丝构成，要完整地模拟纸张，涉及数量众多的纤维丝和纸浆，空间组合结构复杂，运算量很大，因此现有的方法主要是通过构建抽象纤维结构来模拟纸张及其物理特性。1991年，Guo等用显微镜观察纸结构发现纸张中存在许多随机分布的纤维，提出了模拟纸的二维纤维结构模型：用均匀分布的网格将纸平面划分成多个小区域，每个小区域内随机生成大量相互交错的短直线段以模拟纤维丝。此后，Lee改进了Guo等的工作，用正弦曲线代替直线段作为纤维丝的形状；这类模型实现简单，但是扩散过程中粒子的承载单位是方格矩阵，会造成扩散区域过于规则和扩散边界的走样。2005年余斌等[3]提出了呈现正态分布的纤维点和纤维丝组成的纸张模型，将生成的纤维丝视为传输介质，用Wang等[4]提出的“伪布朗运动”模拟墨水中的碳粒子在纤维集合中的运动；为了模拟宣纸结构，该方法需要生成大量的纤维点以及与之关联的纤维走向和长度，其模拟过程需要大量的运算和存储空间。
目前，墨水扩散的模拟工作基本上将其视为碳粒子和水粒子分别做自由运动的结果。Small[5]最早提出应用细胞自动机理论仿真水彩画；Curtis等[6]对Small的模型进行了扩充，引入了更复杂的浅水流动仿真模型模拟水彩画的扩散效果；1995年，Kunii等[7]通过仔细分析墨水扩散过程，发现墨水扩散边缘的颜色灰度与碳粒子在水中的浓度存在明显的关系，因而采用线性微分方程来描述碳粒子和水粒子扩散过程中的浓度变化规律。后来他们改进了线性微分方程[8]，以提高墨水扩散的真实感。通过求解偏微分方程得到的边缘一般比较光滑，因此这类方法模拟的扩散边缘形状光顺不够自然。2003年，Way等[9]通过将纸张划分为多层结构，将墨水视为水粒子和碳粒子的集合，将扩散现象视为纸张的吸水性导致水流运动而碰撞碳粒子的过程，此方法能模拟多种墨水扩散的效果，但是由于其运动过程模拟过于复杂，导致其运算效率较低。2006年，Chu等[10]提出了基于改进的LaticceBolzman算法[11]和三层流体渗透模型来模拟水和碳粒子在宣纸上的吸收、渗透和扩散过程，并在文献[12]提出的毛笔模型的基础上，实现了一个电子创作系统，取得了较好的实验结果，但其过程复杂，运算量大。
本文首次把宣纸中的纤维视为阻碍墨水扩散的物质，并赋以权重刻画纤维对墨水扩散阻碍作用的大小，提出了模拟宣纸的加权纤维结构，在此基础上，把纤维结构的权重和宣纸上剩余墨水量相结合作为扩散系数，给出了描述墨水扩散的变系数扩散方程，该方程可用稳定的CrankNicolson方法求解，能够在线性时间内从上一帧图像获得随后的扩散图像。本文的方法综合考虑了宣纸结构和墨水属性，能够真实地模拟墨水扩散的颗粒状边缘，克服了类似模拟方法容易产生边界过于平滑的问题。
1加权纤维结构
宣纸起源于中国唐朝时期，是一种主要的高级书画用纸。因其具有保存方便、经久不脆和不易褪色的特点，而享有“纸寿千年”论文导读：水扩散过程，容易得出下述结论，墨水扩散的速度和范围与扩散源的墨水量成正比，墨水量多，扩散速度快且范围大；反之，则速度慢且范围小。从微观角度来看，由于纤维丝直径为10nm，而水分子直径为0.4nm，碳粒子直径为10～150nm，当墨水遇到纤维丝阻碍时，如要越过它继续扩散，则需要一定量的墨水形成足够的水压；否则墨水只能在纤维丝的一侧
之誉，一笔落下，墨韵清晰，层次分明。宣纸独特的渗透和润滑性，使其成为中国书法艺术的主要载体。尽管宣纸上的书法作品风格迥异，但字的边缘均有颗粒状现象，如图1所示，而这种现象在比较光洁的普通纸张上不明显或没有。因此要真实地模拟这种扩散现象，必须考虑宣纸的结构及其物理特性。
由于原材料和加工方法不同，宣纸品种丰富，但通过使用高倍率的显微镜观察后发现不同品种的宣纸结构基本相同，类似于纤维丝网结构。图2是半熟宣纸放大500倍的结构图，从中可知纸张由不同长度和形状的纤维丝随机叠放和粘连而成，呈现网状结构。由于纤维丝的无序交错和堆叠，宣纸表面形成许多凸起和凹陷区域，其中凸起区域是纤维丝或多条纤维丝的交接处，而凹陷区域则是纤维丝围成的多边形。为叙述方便，本文称多条纤维丝相交接处为纤维结，凹陷区域为空洞，并把宣纸的单位面积上空洞数量称为纤维密度记为D，它与纤维丝疏密程度有关，也是宣纸扩散性能的影响因素之

一、由宣纸的品种决定。

另外，通过观察宣纸上的墨水扩散过程，容易得出下述结论，墨水扩散的速度和范围与扩散源的墨水量成正比，墨水量多，扩散速度快且范围大；反之，则速度慢且范围小。从微观角度来看，由于纤维丝直径为10nm，而水分子直径为0.4nm，碳粒子直径为10～150nm[10]，当墨水遇到纤维丝阻碍时，如要越过它继续扩散，则需要一定量的墨水形成足够的水压；否则墨水只能在纤维丝的一侧自由扩散。因此，纤维丝在墨水扩散中起着阻碍渗透和改变扩散方向的作用，而纤维结的厚度和高度是纤维丝的数倍，阻碍墨水扩散的能力更强。空洞其实是纤维丝围成的多边形区域，内部无阻挡物，类似于蓄水池，起着容纳墨水的作用。因此，本文把宣纸抽象成一个有长度不等值线段随机相交而成的网格来模拟其纤维结构，直线段表示纤维丝，并定义纤维结构上各点的权重如下：
B（x，y）=f，点（x，y）处于纤维丝上d，点（x，y）处于纤维结中0，点（x，y）处于纤维空洞中 （1）
其中f与d应满足约束条件0为了生成分布均匀方向随机的纤维丝，本文将宣纸划分为若干大小相同的正方形虚拟网格作为纤维结的容器，每个网格中随机生成一个纤维结，并将近邻的网格内的纤维结随机相连形成纤维丝。
图3是基于以上方法生成的纤维结构图，各参数如下：网格数量为60×60，网格内的纤维结连接上限为2，近邻空间大小为7×7。图中圆点为纤维结，直线段为纤维丝，空白区为空洞。
2墨水扩散方程
墨水扩散实际上是水携带碳粒子从高浓度区域向低浓度区域传递的过程。随着扩散的进行，墨水不断被宣纸吸收和自然蒸发，导致墨水量减少，从而扩散动力减弱，最终使得墨水扩散停止。宣纸可看作是一种非均匀传输介质，墨水在宣纸上任意一点的扩散性能由该点的墨水量和纤维属性共同决定。由此，本文用非均匀等向介质中的变系数扩散方程来描述墨水在宣纸中的扩散，其扩散系数取决于剩余墨水量和纤维结构的权重因子。
通过观察和分析墨水扩散的过程，不难得出以下结论：当墨水在扩散源附近时，其扩散速度较快，继而速度逐渐减小直至停止。该现象是由于单位面积上剩余墨水量的变化造成的。本文将单位面积上的剩余墨水量简称为剩余墨水量。当墨水刚开始扩散时，因墨水扩散而增长的墨水覆盖区域面积较小，墨水量损失较少，因此剩余墨水量变摘自：本科生毕业论文www.7ctime.com
化较小；而随着时间的推移，扩散的范围逐渐变大，剩余墨水量的衰减速度也加快，从而使得扩散速度变慢，最后，当剩余墨水量减小到不足以支持墨水跨越宣纸纤维时停止扩散。本文用余弦函数来刻画剩余墨水量的变化规律。设Q为初始墨水量，q（t）是剩余墨水量随时间变化的函数，定义如下：